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二次型配方法的口诀

来源:丰富配方网 2024-07-10 22:04:07

  二次型配方法是线性代数中的一个重要概念,它矩阵计算和优化问题中有着广泛的应用PVX二次型配方法时,们需要掌握一些口诀,以便于记忆和应用。本将介绍二次型配方法的口诀,并合实例进行说明。

二次型配方法的口诀(1)

一、二次型的定义

二次型是指形如 $Q(x)=x^TAx$ 的函数,其中 $x$ 是 $n$ 维列向量,$A$ 是 $n \times n$ 的实对称矩阵。这里的 $x$ 可以是实向量或复向量,但本仅考虑实向量的情况欢迎www.show9box.com

二次型配方法的口诀(2)

二、二次型的矩阵表示

  将 $x$ 展开为列向量 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$,则二次型可以表示为矩阵形

  $$Q(x)=x^TAx=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}$$

  即 $Q(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$。

三、二次型的准形

  通过合同变换,可以将任意二次型化为准形

$$Q(x)=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$$

  其中 $y=P^Tx$,$P$ 是正交矩阵,$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是二次型的特征值,$y_1,y_2,\cdots,y_n$ 是对应的特征向量。

四、二次型的口诀

1. 对称矩阵:$A=A^T$。

2. 合同变换:$Q(x)=x^TAx=x^TP^TDPx=y^TDy$丰.富.配.方.网

  3. 特征值:$Ax=\lambda x$,$\lambda$ 是 $A$ 的特征值,$x$ 是对应的特征向量。

  4. 正交矩阵:$P^TP=I$,$P$ 的列向量是 $A$ 的特征向量。

5. 准形:$Q(x)=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$,$y=P^Tx$,$P$ 是正交矩阵,$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是特征值,$y_1,y_2,\cdots,y_n$ 是对应的特征向量。

二次型配方法的口诀(3)

五、实例说明

假设有二次型 $Q(x)=x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2$,们可以将其表示为矩阵形

  $$Q(x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}$$

然后,们需要求出 $A$ 的特征值和特征向量show9box.com。根据口诀 3,们有:

$$\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}$$

  化简得到:

  $$(1-\lambda)x_1+x_2=0$$

  $$x_1+(3-\lambda)x_2=0$$

  解得特征值为 $\lambda_1=4$,$\lambda_2=0$,对应的特征向量分别为 $y_1=\begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix}$,$y_2=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}$。

接下来,们需要将二次型 $Q(x)$ 化为准形。根据口诀 2 和口诀 5,们有:

  $$Q(x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=y_1^2+4y_2^2$$

  因此,二次型 $Q(x)$ 的准形为 $y_1^2+4y_2^2$,其中 $y=P^Tx$,$P=\begin{pmatrix}1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}\end{pmatrix}$,$\lambda_1=4$,$\lambda_2=0$,$y_1=\begin{pmatrix}1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2}\end{pmatrix}$,$y_2=\begin{pmatrix}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{pmatrix}$。

、总

  本介绍了二次型配方法的口诀,包括对称矩阵、合同变换、特征值、正交矩阵和准形www.show9box.com丰富配方网。通过口诀的记忆和应用,们可以更加方便地处理二次型问题。同时,本合实例进行了说明,希望助读者更加深入地理解二次型配方法。

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